Matemática

_{Matemática, uma função quadrática  forma:}

_{Se, e somente se a ≠ 0. O gráfico de uma função quadrática é uma parábola cujo maior eixo é paralelo ao eixo y, se tal função for contínua. A expressão:}

_{Na definição de uma função quadrática é um polinômio de segundo grau ou um polinômio de grau 2, porque o maior expoente de   é 2.}

_{Se a função quadrática é igualada a zero, o resultado é uma equação quadrática. As soluções para a equação são chamadas raízes da equação ou os zeros da função, e são os interceptos do gráfico da função com o eixo x.}

_{Origem da palavra}

_{O adjetivo quadrática  vem da palavra latina quadratum, que significa quadrado. Um termo como x2 é chamado de quadrado em álgebra, porque representa a área de um quadrado de lado x.}

_{Em geral, um prefixo quadr(i)- indica o número 4. Como em quadrilátero e quadrante. Quadratum é a palavra latina para quadrado por que um quadrado tem quatro lados.}

_{[editar]Raízes}

 _{Equação quadrática}

_{As raízes da função quadrática são os valores de x cuja imagem é 0, ou seja, em que o gráfico corta o "eixo x". O número de raízes depende do valor do discriminante, geralmente denotado pela letra grega delta, definido por:}

_Para:

_{§    , a função terá duas raízes.}

_{§    , a equação terá uma raiz apenas (com maior precisão, diz-se que a equação tem duas raízes iguais)}

_{§    , não terá raíz (com maior precisão, diz-se que a equação não tem raíz reais, tendo duas raízes complexos conjugados).}

_{Essa fórmula é chamada de Fórmula de Bhaskara.}

_{§    Dado} 

_{§    Se  , então existem duas raízes distintas uma vez que   é um número real positivo.}

_{§    Se  , então as duas raízes são iguais, uma vez que   é igual a zero.}

_{§    Se  , então as duas raízes são números complexos conjugados, uma vez que   é imaginário.}

_{Efetuando e ou vice versa, é possível fatorar   como:}

_{Concavidade do gráfico da função quadrática}

_{A concavidade é a abertura da parábola, que ora está voltada para cima e ora está voltada para baixo. O sentido da concavidade depende do coeficiente a, se este for superior a 0, ou seja, positivo, ela é voltada para cima, caso seja negativo ela é voltada para baixo.}

_{Vértice da parábola}

_{O vértice da parábola corresponde ao ponto mais extremo dela. É definido pelas seguintes coordenadas:}

              _{Crescimento e decrescimento de uma função quadrática}

_{Em uma parábola, metade é crescente e a outra metade é decrescente.}

          _{Concavidade voltada para cima:}

_{§    Decrescente do -infinito ao vértice}

_{§    Crescente do vértice ao infinito}

_{§   Concavidade voltada para baixo:}

_{§    Crescente do -infinito ao vértice}

_{§    Decrescente do vértice ao infinito}

_{Formas da função quadrática}

_{Uma função quadrática pode ser expressa em três formatos:}

_{§     é chamada a forma geral ou forma polinomial (também chamada de forma desenvolvida),}

_{§     é chamada a forma fatorada, onde   e   são as raízes da equação quadrática, e}

_{§     é chamada a forma padrão ou forma vértice (também chamada de forma canônica).}

_{Para converter a forma geral para a forma fatorada, é necessário usar a fórmula quadrática e encontrar as raízes   e  . Para converter a forma geral para a forma padrão é necessário usar o processo de completar o quadrado. Para converter a forma fatorada (ou padrão) para a forma geral, é necessário multiplicar, expandir e/ou distribuir os fatores.}

_{[editar]Gráfico}

_{Independentemente do formato, o gráfico de uma função quadrática é uma parábola (como mostrado abaixo).}

_{§    Se  , a parábola abre para cima.}

_{§    Se  , a parábola abre para baixo.}

_{O coeficiente a controla a velocidade de aumento (ou decréscimo) da função quadrática a partir do vértice. Números positivos grandes para a fazem a imagem de x aumentar mais rápido, fazendo com que a parábola fique mais fechada, mais "magra".}

_{O coeficiente b e a, juntos, controlam o eixo de simetria da parábola (e também a coordenada do x do vértice).}

_{O coeficiente b sozinho é a declividade da parábola ao cortar o eixo y.}

_{O coeficiente c controla a altura da parábola, mais especificamente, é o ponto onde a parábola corta o eixo y.}

_Vértice

_{O vértice de uma parábola é o número crítico da função quadrática - o ponto onde ela vira, também chamado de turning point.}

_{A linha vertical:}

           _{Que passa pelo vértice é chamada de eixo de simetria da parábola.}

                    

                  _{Pontos de máximo/mínimo}

_{O máximo ou mínimo de uma função é sempre obtido no vértice. O seguinte método se baseia na mesma idéia fazendo uso do cálculo. A vantagem desse método é que ele funciona para funções mais gerais.}

_{Tomando   como um exemplo de equação quadrática para achar seus pontos extremos (que dependem de  , se  , tem um ponto mínimo, se  , tem um ponto máximo) é necessário antes encontrar sua derivada:}

_{Depois, encontramos as raízes de  :}

   

_{Então,   é o   valor de  . Agora, para encontrar o valor de  , substituimos   em  :}

_{Assim, as coordenadas do ponto mínimo/máximo são:}

_{Estudo do sinal}

_{Exemplo de uma função positiva para qualquer valor de} 

_{O estudo do sinal da função quadrática define o sinal da função para qualquer valor de  . O estudo depende do sinal do coeficiente   e do  . Ele é obtido analisando o esboço do gráfico da concavidade da função.}

_{Caso Δ < 0}

_{Neste caso, a parábola da função não corta o eixo das absissas. Portanto:}

_{Caso Δ = 0}

_{Exemplo de uma função negativa para   e nula para} 

_{Neste caso, a parábola da função corta o eixo das absissas em apenas um ponto. Tem-se duas situações, dependendo o valor do coeficiente   e das raízes   e   (note que  ):}

_§    

_§    

_{Caso Δ > 0}

_{Exemplo de uma função positiva para   ou  ; nula para   e negativa para  .}

_{Neste caso, a parábola da função corta o eixo das absissas em dois pontos. Novamente, tem-se duas situações, dependendo o valor do coeficiente  (note novamente que  ):}

_§    

_§    

_{Raiz quadrada de uma função quadrática}

_{A raiz quadrada de uma função quadrática faz surgir ou uma elipse ou uma hipérbole. Se   então a equação  descreve uma hipérbole. O eixo da hipérbole é determinado pela ordenada do ponto mínimo da parábola correspondente}  

_{Se a ordenada for negativa, então o eixo da hipérbole é horizontal. Se ordenada for positiva, então o eixo da hipérbole é vertical.
Se   então a equação   descreve ou uma elipse ou absolutamente nada. Se a ordenada do ponto máximo da parábola correspondente   for positiva, então sua raiz quadrada descreve uma elipse, mas a ordenada for negativa ela descreve um conjunto vazio de pontos.}

_{Função quadrática bivariada}

_{Uma função quadrática bivariada é um polinômio de segundo grau da forma}

_{Tal função descreve uma superfície quadrática. Fazendo   igual a zero, é descrita a intersecção da superfície com o plano  , que é um locus de pontos equivalente a uma secção cônica.}

_{Mínimo/máximo}

                  _{Se   a função não possui máximo ou mínimo e seu gráfico                                                                                                            forma um parabolóide hiperbólico.}

_{Se   a função possui um mínimo se A>0, e um máximo se A<0 e seu gráfico forma um parabolóide elíptico.}

_{O mínimo ou máximo de uma função quadrática bivariada é obtido através de   onde:}

                                                                   

                    

                                                                                                      

_{Se   e   a função não possui máximo ou mínimo e seu gráfico forma um cilindro parabólico.}

_{Se   e   a função alcança o mínimo/máximo em uma linha. Similarmente, um mínimo se A>0 e um máximo se A<0, e seu gráfico forma um cilindro parabólico.}